①同じものを含む順列
monotone という単語の 8 個の文字全部を使って文字列を作る。
（１）異なる文字列は何通りありますか。3通りの解き方でそれぞれシール①②③
（２）m, t, e がこの順に並ぶ文字列は何通りありますか。 2通りの解き方でそれぞれシール④⑤
ヒント①場合分け
(1)
解1)つぎのもれも重複もない3つに場合分けして、全ての場合の数を足し合わせる。
(ⅰ)oが3つ隣り合う。
(ⅱ)oが2つ1つに分かれる。
(ⅲ)oが隣り合わない。
まず、n2つとm, t, eの並べ方を考える。
nが隣り合う時は、隣り合うn2つをnnとして、まとめて1組として考える。すると、nn, m, t, eの異なる4つを1列に並べる順列の総数と等しくなるので4!(通り)
nが隣り合わないときは、まずm, t, eを並べ3!(通り)、それぞれに対してn2つを並べる場所を選ぶ。3つの文字の4つの隙間から2つを選ぶと考えて、4C2(通り)。したがってn, n, m, t, eを並べる方法は、4!+3!×4C2=24+6×6=60(通り)
(ⅰ)oが3つ隣り合う。
隣り合うo3つをまとめて1組として考える。n, n, m, t, e5つの文字の6つの隙間から、oooを入れる場所を1つ選ぶと考えて、全体の並べ方は60×6=360(通り)
(ⅱ)oが2つ1つに分かれる。
隣り合うo2つをまとめて1組として考える。6つの隙間からo2つとo1つを並べる場所を考えて、6C2(通り)。また、ooとoとは、順序が逆であれば同じ選び方でも異なる文字列になるので2をかける。したがって、全体の並べ方は60×6C2×2=60×15×2=1800(通り)
(ⅲ)oが隣り合わない。
6つの隙間からo1つを入れる場所を3つ選ぶと考えて、6C3(通り)。すると全体の並べ方は、60×6C3=60×5×4=1200(通り)。
(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)の場合の数を足し合わせて360+1800+1200=3360(通り)· · · (答)
解2)8 文字すべてを区別する。それを１列に並べる方法は。8!通りある。その後、
o3 つ、n2 つの区別をなくすとそれぞれ 3!通り、2!通りずつ同じものが出てくる。し
たがって、全体の並べ方は
8!
3!2! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4
2! = 8 × 7 × 6 × 5 × 2 = 3360 (通り) · · · (答)
解3) まず、文字を並べる場所を 8 つ用意する。8 つの中から、o 3 つを並べる場所を
選ぶ方法は、8C3 通り、次に、残った 5 つから n2 つを並べる場所を選ぶ方法は 5C2
通り、残った m, t, e を並べる方法は 3! 通りである。
したがって、全体の並べ方は
8C3 × 5C2 × 3! = 56 × 10 × 6 = 3360 (通り) · · · (答
(2)
解1)(1) は m, t, e を異なる３文字として並べていた。しかし、(2) は並べ方が１通
りに固定されたことで、m, t, e の区別をなくすことと同じになった。そのため、(1)
の答えを 3!で割ればよい。
3360
3! = 560 (通り) · · · (答)
解2)m, t, e を同じ文字□として□ 3 つ o3 つ n2 つの順列を考える。(1) 解3と同様
に文字を並べる場所を 8 つ用意して、□を並べる場所 3 つを選ぶ。□を並べる場所
を選んだ時、左から m, t, e の順に並べる方法は 1 通り。残った 5 つから o3 つを並べ
る場所を選ぶ方法は、5C3 通り、残った 2 つから n2 つを並べる場所を選ぶ方法は、
2C2 通りである。
したがって、全体の並べ方は
8C3 × 5C3 × 2C2 = 56 × 10 = 560 (通り) · · · (答)
場合の数の応用:場合の数を学んだ後に、それを土台として確率の単元を学ぶことになる。確率は、現代で多岐にわたる単元に応用されているんだ。たとえば、言語生成AIは、前の単語列をもとに次のトークンが何になるかという事を確率的に予測することで自然な文章を生成しているんだ。
